Dérivabilité
Dérivée d’une fonction
Tangente (géométrie)
Dérivée partielle
Dérivée directionnelle
Dérivation complexe
Arccosinus (Dérivée)
Arcsinus (Dérivée)
Arctangente (Dérivée)
Cosinus (Dérivée)
Cosinus hyperbolique (Dérivée)
Fonction tangente (Dérivée)
Logarithme népérien - Logarithme naturel (Dérivée)
Produit vectoriel (Dérivée)
Puissance (Dérivée)
Sinus (Dérivée)
Sinus hyperbolique (Dérivée)
Règle de la chaîne - Dérivée d’une fonction composée
Dérivées successives
Soient \(f,g:I\to\Bbb R\) deux fonctions dérivables
1. \({{(f+g)'(x)}}={{f'(x)+g'(x)}}\)
2. \({{(\lambda f)'(x)}}={{\lambda f'(x)}}\)
3. \({{(f\times g)'(x)}}= {{fg'(x)+f'g(x)}}\)
4. \({{\left(\frac fg\right)'(x)}}={{{f'g(x)-g'f(x)\over g^2(x)}, g(x)\neq 0}}\)
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
- Si \(\forall x\in (a,b),f'(x)\geqslant 0\), alors \(f\) est croissante
- Réciproquement, si \(f\) est croissante, alors \(\forall x\in(a,b),f'(x)\geqslant0\)
Démonstration :
- Supposons que \(\forall x\in(a,b),f'(x)\geqslant0\)
Soient \(x,y\in(a,b)\) tels que \(x\leqslant y\)
Par le Théorème des accroissements finis, il existe \(c\in(x,y)\) tel que \(f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)\)
Mais \(f'(c)\geqslant 0\) (d'après la première supposition) et \(x-y\leqslant0\)
Alors \(f(x)-f(y)\leqslant0\)
Alors \(f(x)\leqslant f(y)\)
Donc \(f\) est croissante- Soit \(f\) une fonction croissante
alors, si \(y\gt x\), on a \(f(y)-f(x)\geqslant0\)
$$\lim_{y\to x}{f(y)-f(x)\over y-x}\geqslant0$$
alors \(\forall x, f'(x)\geqslant0\)
Remarque :
\(f\) est strictement croissante sur \([a,b]\) n'implique pas que \(f'(x)\gt 0\) pour chaque \(x\in[a,b]\)
(Fonction croissante, Fonction décroissante, Fonction strictement croissante, Fonction strictement décroissante)
Exemple :
\(f:x\mapsto x^3\) est strictement croissante, pourtant \(f'(0)=3\times 0^2=0\)
